my andrea

AKomposisi Fungsi 1. Pengertian Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru. Misalkan: f : A  B dan g : B  C f g A B C h = g  f Fungsi baru h = (g o f) : A  C disebut fungsi komposisi dari f dan g. Ditulis: h(x) = (gof)(x) = g(f(x)) (gof)(x) = g(f(x)) ada hanya jika Rf ∩ Dg ≠ Ø Nilai fungsi komposisi (gof)(x) untuk x = a adalah (gof)(a) = g(f(a)) Secara umum ada 2 definisi fungsi komposisi yaitu 1. (f o g)(x) = f(g(x)) 2. (g o f)(x) = g(f(x)) Contoh 1: Jika diketahui f : R  R ; f(x) = 2x² +1, g : R  R ; g(x) = x + 3 , Tentukan (f o g)(x) dan (g o f)(x) ! Jawab (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = 2(x+3)²+1 = 2(x² + 6x + 9) + 1 = 2x²+12x+19 (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x²+1) = 2x² + 1 + 3 = 2x² + 4 Contoh 2: Diketahui A = {x l x < -1}, B dan C adalah himpunan bilangan real. f : A → B dengan f(x) = -x + 1; g : B → C dengan g(x) = x2 dan h = g o f : A → C. Bila x di A dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x! h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) = g(-x + 1) = (-x + 1)2 h(x) = 64 → (-x + 1)2 = 64 ↔ -x + 1 =  8 -x + 1 = 8 ↔ x = -7 atau –x + 1 = -8 ↔ x = 9 Karena A = {x l x < -1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = -7. 2. Sifat-sifat Komposisi Fungsi Jika f : A  B ; g : B  C ; h : C  D, maka berlaku: i. (fog)(x) ≠ (g o f)(x) (tidak komutatif) ii. ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) (sifat asosiatif) iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) (elemen identitas) Contoh 3: Diketahui f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x2 + 2, I(x) = x (f o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x (g o h)(x) = g(h(x)) = g(x2 + 2) = 3 – (x2 + 2) = 1 - x2 Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o f)(x) ((fog)oh)(x) = (fog)(h(x))= (fog)( x2 + 2)= 7 – 2(x2 + 2) = 3 - 2x2 (fo(goh))(x)=f((goh)(x))= f(1 - x2)= 2(1 - x2) + 1 = 2 – 2 x2 + 1 = 3 – 2 x2 Dari hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) (foI)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x + 1 (Iof)(x) = I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1 Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) Fungsi Invers  Definisi Jika fungsi f : A  B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)laA dan bB}, maka invers dari fungsi f adalah f-1: B  A ditentukan oleh: f-1:{(b,a)lbB dan aA}. Jika f : A  B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 : B  A jika dan hanya jika f adalah fungsi bijektif atau korespondensi 1-1. Jika f : y = f(x)  f -1 : x = f(y) (f o f -1)(x) = (f-1 o f)(x) = I(x) (fungsi identitas)  Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers i. f(x) = ax + b; a ≠ 0  f -1(x) = ; a ≠ 0 ii. f(x) = ; x ≠ -  f -1(x) = ; x ≠ iii. f(x) = acx ; a > 0  f -1(x) = alog x1/c = alog x ; c ≠ 0 iv. f(x) = a log cx ; a > 0; cx > 0  f -1(x) = ; c ≠ 0 v. f(x) = ax²+bx+c; a≠0  f -1(x)= Catatan: Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi. Contoh 26: Diketahui f: R  R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f -1 (x)! Cara 1: y = 2x - 5 (yang berarti x = f -1(y)) 2x = y + 5 x = f -1(x) = Cara 2: f(x) = ax + b  f -1(x) = f(x) = 2x – 5  f -1(x) = Contoh 27: Diketahui Tentukan ! Cara 1: y(x - 4) = 2x + 1 yx – 4y = 2x + 1 yx – 2x = 4y + 1 x(y – 2) = 4y + 1 x = f -1(x) = Cara 2: f(x) =  f -1(x) =  f -1(x) = Contoh 28: Jika dan . Tentukan nilai k! Cara 1: y(3x - 4) = 2x 3xy – 4y = 2x 3xy – 2x = 4y x(3y – 2) = 4y x = f -1(x) = f -1(k) = 1 = 3k – 2 = 4k k = -2 Cara 2: f -1(k) = a  k = f(a)  k = f(1) = Contoh 29: Diketahui f(x) = 52x, tentukan f – 1 (x)! Cara 1: y = 52x (ingat rumus logaritma: a n = b  n = ) 2x = x = f – 1 (x) = Cara 2: f(x) = acx  f -1(x) = alog x f(x) = 52x  f – 1 (x) = Contoh 30: Diketahui f(x) = x2 – 6x + 4, tentukan f–1 (x)! Cara 1: y = x2 – 6x + 4 y – 4 = x2 – 6x y – 4 = (x – 3) 2 – 9 y + 5 = (x – 3) 2 x – 3 =  x = 3  f – 1 (x) = 3  Cara 2: f(x) = ax²+bx+c  f -1(x) = f(x) = x2 – 6x + 4  f -1(x) = Contoh 31: Diketahui , tentukan f – 1 (x)! Cara 1: y – 2 = (y – 2)5 = 1 – x3 x3 = 1 - (y – 2)5 x = f – 1 (x) = Cara 2:  f – 1 (x) =  f – 1 (x) =  Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi f(x). Contoh 32: Diketahui g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12, tentukan rumus fungsi f(x)! Cara 1: (g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12 g(f(x)) = 2x2 + 2x – 12 3 – 2f(x) = 2x2 + 2x – 12 -2f(x) = 2x2 + 2x – 15 f(x) = -x2 – x + 7,5 Cara 2: g(x) = 3 – 2x  g -1(x) = f(x) = [g -1 o (g o f)](x) f(x) = Contoh 33: Diketahui f(x) = 2x -1 dan (g o f)(x) = , tentukan rumus fungsi g(x)! Cara 1: (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x-1) = Misalkan: 2x – 1 = a  x = g(a) = g(a) = = g(x) = Cara 2: (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x-1) = g(2x-1) = g(x) = Cara 3: f(x) = 2x -1  f -1(x) = g(x) = [(g o f) o f -1](x) = (g o f)( f -1(x)) g(x) = 6.5. Invers Dari Fungsi Komposisi Misalkan fungsi f dan fungsi g nasing-masing merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi invers f -1 dan g-1. Fungsi komposisi (g o f) , pemetaan pertama ditentukan oleh f dan pemetaan kedua ditentukan oleh g. Mula-mula x oleh fungsi f dipetakan ke y, kemudian y oleh fungsi g dipetakan ke z, seperti tampak pada diagram berikut. f g A B C g  f Fungsi (g o f) -1 memetakan z ke x. Mula-mula z dipetakan ke y oleh fungsi g-1, kemudian y dipetakan x oleh fungsi f -1. Sehingga (g o f)-1 dapat dinyatakan sebagai komposisi dari (f-1 0 g-1). Seperti tampak pada diagram berikut. f-1 g-1 A B C (g  f) -1 Jadi diperoleh hubungan: (g o f) -1 (x) = (f -1 o g -1)(x) Contoh 34: Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3 dan g(x) = . Tentukan (f o g) - 1(x)! Cara 1: (f o g)(x) = 2( ) – 3 = Misalkan y = (f o g)(x) y = y(3x+1) = -9x – 1 3xy + y = -9x – 1 3xy + 9x = -y – 1 x (3y + 9) = -(y + 1) x = (f o g) - 1(x) = Cara 2: (f o g)(x) = 2( ) – 3 = (f o g) - 1(x) = Contoh 35: Diketahui f - 1(x) = x - 2, g - 1(x) = dan h(x)=(g o f)(x). tentukan h - 1(x)! Cara 1: f - 1(x) = x – 2 (f–1 o f)(x) =I(x)  f- 1(f(x)) = x f(x) – 2 = x f(x) = x + 2 f(x) = 2x + 4 g - 1(x) = (g– 1 o g)(x) =I(x)  g - 1(g(x)) = x = x 4g(x) + 5 = x.g(x)- 2x 4g(x) – x.g(x) = -2x – 5 g(x)(4 - x) = -2x – 5 g(x) = h(x) = (g o f)(x) h(x) = - h - 1(x) = Cara 2: h(x) = (g o f)(x)  h - 1(x) = (g o f) - 1 (x) = (f -1 o g -1)(x) = f -1( g -1(x)) h - 1(x) = . - 2 = Contoh 36: Ditentukan f(x) = 2x – 1, dan g(x) = 3 – x dan h(x) = , carilah nilai x sehingga (h o g o f) – 1 (x) = 1! Cara 1: (go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x (h o (g o f))(x) = Misalkan (h o g o f) (x) = y, maka: y = 4y – 2xy = 4 -2xy = 4 – 4y x = (h o g o f) – 1 (x) = = 1 2x – 2 = x x = 2 Cara 2: (go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x (h o (g o f))(x) = (h o g o f) – 1 (x) = a  x = (h o g o f) (a) (h o g o f) – 1 (x) = 1  x = (h o g o f) (1) =

AKomposisi Fungsi 1. Pengertian Komposisi fungsi adalah penggab...
(tanpa judul)

ini blok baru ku
my blok baru

kunjungi segera blok terbaru saya untuk mengetahui perkembangan terkini tentang saya dan sekitar

Entri Populer

AKomposisi Fungsi 1. Pengertian Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru. Misalkan: f : A  B dan g : B  C f g A B C h = g  f Fungsi baru h = (g o f) : A  C disebut fungsi komposisi dari f dan g. Ditulis: h(x) = (gof)(x) = g(f(x)) (gof)(x) = g(f(x)) ada hanya jika Rf ∩ Dg ≠ Ø Nilai fungsi komposisi (gof)(x) untuk x = a adalah (gof)(a) = g(f(a)) Secara umum ada 2 definisi fungsi komposisi yaitu 1. (f o g)(x) = f(g(x)) 2. (g o f)(x) = g(f(x)) Contoh 1: Jika diketahui f : R  R ; f(x) = 2x² +1, g : R  R ; g(x) = x + 3 , Tentukan (f o g)(x) dan (g o f)(x) ! Jawab (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = 2(x+3)²+1 = 2(x² + 6x + 9) + 1 = 2x²+12x+19 (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x²+1) = 2x² + 1 + 3 = 2x² + 4 Contoh 2: Diketahui A = {x l x < -1}, B dan C adalah himpunan bilangan real. f : A → B dengan f(x) = -x + 1; g : B → C dengan g(x) = x2 dan h = g o f : A → C. Bila x di A dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x! h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) = g(-x + 1) = (-x + 1)2 h(x) = 64 → (-x + 1)2 = 64 ↔ -x + 1 =  8 -x + 1 = 8 ↔ x = -7 atau –x + 1 = -8 ↔ x = 9 Karena A = {x l x < -1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = -7. 2. Sifat-sifat Komposisi Fungsi Jika f : A  B ; g : B  C ; h : C  D, maka berlaku: i. (fog)(x) ≠ (g o f)(x) (tidak komutatif) ii. ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) (sifat asosiatif) iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) (elemen identitas) Contoh 3: Diketahui f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x2 + 2, I(x) = x (f o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x (g o h)(x) = g(h(x)) = g(x2 + 2) = 3 – (x2 + 2) = 1 - x2 Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o f)(x) ((fog)oh)(x) = (fog)(h(x))= (fog)( x2 + 2)= 7 – 2(x2 + 2) = 3 - 2x2 (fo(goh))(x)=f((goh)(x))= f(1 - x2)= 2(1 - x2) + 1 = 2 – 2 x2 + 1 = 3 – 2 x2 Dari hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) (foI)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x + 1 (Iof)(x) = I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1 Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) Fungsi Invers  Definisi Jika fungsi f : A  B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)laA dan bB}, maka invers dari fungsi f adalah f-1: B  A ditentukan oleh: f-1:{(b,a)lbB dan aA}. Jika f : A  B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 : B  A jika dan hanya jika f adalah fungsi bijektif atau korespondensi 1-1. Jika f : y = f(x)  f -1 : x = f(y) (f o f -1)(x) = (f-1 o f)(x) = I(x) (fungsi identitas)  Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers i. f(x) = ax + b; a ≠ 0  f -1(x) = ; a ≠ 0 ii. f(x) = ; x ≠ -  f -1(x) = ; x ≠ iii. f(x) = acx ; a > 0  f -1(x) = alog x1/c = alog x ; c ≠ 0 iv. f(x) = a log cx ; a > 0; cx > 0  f -1(x) = ; c ≠ 0 v. f(x) = ax²+bx+c; a≠0  f -1(x)= Catatan: Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi. Contoh 26: Diketahui f: R  R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f -1 (x)! Cara 1: y = 2x - 5 (yang berarti x = f -1(y)) 2x = y + 5 x = f -1(x) = Cara 2: f(x) = ax + b  f -1(x) = f(x) = 2x – 5  f -1(x) = Contoh 27: Diketahui Tentukan ! Cara 1: y(x - 4) = 2x + 1 yx – 4y = 2x + 1 yx – 2x = 4y + 1 x(y – 2) = 4y + 1 x = f -1(x) = Cara 2: f(x) =  f -1(x) =  f -1(x) = Contoh 28: Jika dan . Tentukan nilai k! Cara 1: y(3x - 4) = 2x 3xy – 4y = 2x 3xy – 2x = 4y x(3y – 2) = 4y x = f -1(x) = f -1(k) = 1 = 3k – 2 = 4k k = -2 Cara 2: f -1(k) = a  k = f(a)  k = f(1) = Contoh 29: Diketahui f(x) = 52x, tentukan f – 1 (x)! Cara 1: y = 52x (ingat rumus logaritma: a n = b  n = ) 2x = x = f – 1 (x) = Cara 2: f(x) = acx  f -1(x) = alog x f(x) = 52x  f – 1 (x) = Contoh 30: Diketahui f(x) = x2 – 6x + 4, tentukan f–1 (x)! Cara 1: y = x2 – 6x + 4 y – 4 = x2 – 6x y – 4 = (x – 3) 2 – 9 y + 5 = (x – 3) 2 x – 3 =  x = 3  f – 1 (x) = 3  Cara 2: f(x) = ax²+bx+c  f -1(x) = f(x) = x2 – 6x + 4  f -1(x) = Contoh 31: Diketahui , tentukan f – 1 (x)! Cara 1: y – 2 = (y – 2)5 = 1 – x3 x3 = 1 - (y – 2)5 x = f – 1 (x) = Cara 2:  f – 1 (x) =  f – 1 (x) =  Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi f(x). Contoh 32: Diketahui g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12, tentukan rumus fungsi f(x)! Cara 1: (g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12 g(f(x)) = 2x2 + 2x – 12 3 – 2f(x) = 2x2 + 2x – 12 -2f(x) = 2x2 + 2x – 15 f(x) = -x2 – x + 7,5 Cara 2: g(x) = 3 – 2x  g -1(x) = f(x) = [g -1 o (g o f)](x) f(x) = Contoh 33: Diketahui f(x) = 2x -1 dan (g o f)(x) = , tentukan rumus fungsi g(x)! Cara 1: (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x-1) = Misalkan: 2x – 1 = a  x = g(a) = g(a) = = g(x) = Cara 2: (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x-1) = g(2x-1) = g(x) = Cara 3: f(x) = 2x -1  f -1(x) = g(x) = [(g o f) o f -1](x) = (g o f)( f -1(x)) g(x) = 6.5. Invers Dari Fungsi Komposisi Misalkan fungsi f dan fungsi g nasing-masing merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi invers f -1 dan g-1. Fungsi komposisi (g o f) , pemetaan pertama ditentukan oleh f dan pemetaan kedua ditentukan oleh g. Mula-mula x oleh fungsi f dipetakan ke y, kemudian y oleh fungsi g dipetakan ke z, seperti tampak pada diagram berikut. f g A B C g  f Fungsi (g o f) -1 memetakan z ke x. Mula-mula z dipetakan ke y oleh fungsi g-1, kemudian y dipetakan x oleh fungsi f -1. Sehingga (g o f)-1 dapat dinyatakan sebagai komposisi dari (f-1 0 g-1). Seperti tampak pada diagram berikut. f-1 g-1 A B C (g  f) -1 Jadi diperoleh hubungan: (g o f) -1 (x) = (f -1 o g -1)(x) Contoh 34: Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3 dan g(x) = . Tentukan (f o g) - 1(x)! Cara 1: (f o g)(x) = 2( ) – 3 = Misalkan y = (f o g)(x) y = y(3x+1) = -9x – 1 3xy + y = -9x – 1 3xy + 9x = -y – 1 x (3y + 9) = -(y + 1) x = (f o g) - 1(x) = Cara 2: (f o g)(x) = 2( ) – 3 = (f o g) - 1(x) = Contoh 35: Diketahui f - 1(x) = x - 2, g - 1(x) = dan h(x)=(g o f)(x). tentukan h - 1(x)! Cara 1: f - 1(x) = x – 2 (f–1 o f)(x) =I(x)  f- 1(f(x)) = x f(x) – 2 = x f(x) = x + 2 f(x) = 2x + 4 g - 1(x) = (g– 1 o g)(x) =I(x)  g - 1(g(x)) = x = x 4g(x) + 5 = x.g(x)- 2x 4g(x) – x.g(x) = -2x – 5 g(x)(4 - x) = -2x – 5 g(x) = h(x) = (g o f)(x) h(x) = - h - 1(x) = Cara 2: h(x) = (g o f)(x)  h - 1(x) = (g o f) - 1 (x) = (f -1 o g -1)(x) = f -1( g -1(x)) h - 1(x) = . - 2 = Contoh 36: Ditentukan f(x) = 2x – 1, dan g(x) = 3 – x dan h(x) = , carilah nilai x sehingga (h o g o f) – 1 (x) = 1! Cara 1: (go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x (h o (g o f))(x) = Misalkan (h o g o f) (x) = y, maka: y = 4y – 2xy = 4 -2xy = 4 – 4y x = (h o g o f) – 1 (x) = = 1 2x – 2 = x x = 2 Cara 2: (go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x (h o (g o f))(x) = (h o g o f) – 1 (x) = a  x = (h o g o f) (a) (h o g o f) – 1 (x) = 1  x = (h o g o f) (1) =

AKomposisi Fungsi 1. Pengertian Komposisi fungsi adalah penggab...
(tanpa judul)

ini blok baru ku
my blok baru

kunjungi segera blok terbaru saya untuk mengetahui perkembangan terkini tentang saya dan sekitar

my millik. Tema Perjalanan. Diberdayakan oleh Blogger.