Rabu, 02 Februari 2011

AKomposisi Fungsi 1. Pengertian Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru. Misalkan: f : A  B dan g : B  C f g A B C h = g  f Fungsi baru h = (g o f) : A  C disebut fungsi komposisi dari f dan g. Ditulis: h(x) = (gof)(x) = g(f(x)) (gof)(x) = g(f(x)) ada hanya jika Rf ∩ Dg ≠ Ø Nilai fungsi komposisi (gof)(x) untuk x = a adalah (gof)(a) = g(f(a)) Secara umum ada 2 definisi fungsi komposisi yaitu 1. (f o g)(x) = f(g(x)) 2. (g o f)(x) = g(f(x)) Contoh 1: Jika diketahui f : R  R ; f(x) = 2x² +1, g : R  R ; g(x) = x + 3 , Tentukan (f o g)(x) dan (g o f)(x) ! Jawab (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = 2(x+3)²+1 = 2(x² + 6x + 9) + 1 = 2x²+12x+19 (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x²+1) = 2x² + 1 + 3 = 2x² + 4 Contoh 2: Diketahui A = {x l x < -1}, B dan C adalah himpunan bilangan real. f : A → B dengan f(x) = -x + 1; g : B → C dengan g(x) = x2 dan h = g o f : A → C. Bila x di A dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x! h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) = g(-x + 1) = (-x + 1)2 h(x) = 64 → (-x + 1)2 = 64 ↔ -x + 1 =  8 -x + 1 = 8 ↔ x = -7 atau –x + 1 = -8 ↔ x = 9 Karena A = {x l x < -1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = -7. 2. Sifat-sifat Komposisi Fungsi Jika f : A  B ; g : B  C ; h : C  D, maka berlaku: i. (fog)(x) ≠ (g o f)(x) (tidak komutatif) ii. ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) (sifat asosiatif) iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) (elemen identitas) Contoh 3: Diketahui f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x2 + 2, I(x) = x (f o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x (g o h)(x) = g(h(x)) = g(x2 + 2) = 3 – (x2 + 2) = 1 - x2 Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o f)(x) ((fog)oh)(x) = (fog)(h(x))= (fog)( x2 + 2)= 7 – 2(x2 + 2) = 3 - 2x2 (fo(goh))(x)=f((goh)(x))= f(1 - x2)= 2(1 - x2) + 1 = 2 – 2 x2 + 1 = 3 – 2 x2 Dari hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) (foI)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x + 1 (Iof)(x) = I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1 Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) Fungsi Invers  Definisi Jika fungsi f : A  B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)laA dan bB}, maka invers dari fungsi f adalah f-1: B  A ditentukan oleh: f-1:{(b,a)lbB dan aA}. Jika f : A  B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 : B  A jika dan hanya jika f adalah fungsi bijektif atau korespondensi 1-1. Jika f : y = f(x)  f -1 : x = f(y) (f o f -1)(x) = (f-1 o f)(x) = I(x) (fungsi identitas)  Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers i. f(x) = ax + b; a ≠ 0  f -1(x) = ; a ≠ 0 ii. f(x) = ; x ≠ -  f -1(x) = ; x ≠ iii. f(x) = acx ; a > 0  f -1(x) = alog x1/c = alog x ; c ≠ 0 iv. f(x) = a log cx ; a > 0; cx > 0  f -1(x) = ; c ≠ 0 v. f(x) = ax²+bx+c; a≠0  f -1(x)= Catatan: Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi. Contoh 26: Diketahui f: R  R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f -1 (x)! Cara 1: y = 2x - 5 (yang berarti x = f -1(y)) 2x = y + 5 x = f -1(x) = Cara 2: f(x) = ax + b  f -1(x) = f(x) = 2x – 5  f -1(x) = Contoh 27: Diketahui Tentukan ! Cara 1: y(x - 4) = 2x + 1 yx – 4y = 2x + 1 yx – 2x = 4y + 1 x(y – 2) = 4y + 1 x = f -1(x) = Cara 2: f(x) =  f -1(x) =  f -1(x) = Contoh 28: Jika dan . Tentukan nilai k! Cara 1: y(3x - 4) = 2x 3xy – 4y = 2x 3xy – 2x = 4y x(3y – 2) = 4y x = f -1(x) = f -1(k) = 1 = 3k – 2 = 4k k = -2 Cara 2: f -1(k) = a  k = f(a)  k = f(1) = Contoh 29: Diketahui f(x) = 52x, tentukan f – 1 (x)! Cara 1: y = 52x (ingat rumus logaritma: a n = b  n = ) 2x = x = f – 1 (x) = Cara 2: f(x) = acx  f -1(x) = alog x f(x) = 52x  f – 1 (x) = Contoh 30: Diketahui f(x) = x2 – 6x + 4, tentukan f–1 (x)! Cara 1: y = x2 – 6x + 4 y – 4 = x2 – 6x y – 4 = (x – 3) 2 – 9 y + 5 = (x – 3) 2 x – 3 =  x = 3  f – 1 (x) = 3  Cara 2: f(x) = ax²+bx+c  f -1(x) = f(x) = x2 – 6x + 4  f -1(x) = Contoh 31: Diketahui , tentukan f – 1 (x)! Cara 1: y – 2 = (y – 2)5 = 1 – x3 x3 = 1 - (y – 2)5 x = f – 1 (x) = Cara 2:  f – 1 (x) =  f – 1 (x) =  Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi f(x). Contoh 32: Diketahui g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12, tentukan rumus fungsi f(x)! Cara 1: (g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12 g(f(x)) = 2x2 + 2x – 12 3 – 2f(x) = 2x2 + 2x – 12 -2f(x) = 2x2 + 2x – 15 f(x) = -x2 – x + 7,5 Cara 2: g(x) = 3 – 2x  g -1(x) = f(x) = [g -1 o (g o f)](x) f(x) = Contoh 33: Diketahui f(x) = 2x -1 dan (g o f)(x) = , tentukan rumus fungsi g(x)! Cara 1: (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x-1) = Misalkan: 2x – 1 = a  x = g(a) = g(a) = = g(x) = Cara 2: (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x-1) = g(2x-1) = g(x) = Cara 3: f(x) = 2x -1  f -1(x) = g(x) = [(g o f) o f -1](x) = (g o f)( f -1(x)) g(x) = 6.5. Invers Dari Fungsi Komposisi Misalkan fungsi f dan fungsi g nasing-masing merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi invers f -1 dan g-1. Fungsi komposisi (g o f) , pemetaan pertama ditentukan oleh f dan pemetaan kedua ditentukan oleh g. Mula-mula x oleh fungsi f dipetakan ke y, kemudian y oleh fungsi g dipetakan ke z, seperti tampak pada diagram berikut. f g A B C g  f Fungsi (g o f) -1 memetakan z ke x. Mula-mula z dipetakan ke y oleh fungsi g-1, kemudian y dipetakan x oleh fungsi f -1. Sehingga (g o f)-1 dapat dinyatakan sebagai komposisi dari (f-1 0 g-1). Seperti tampak pada diagram berikut. f-1 g-1 A B C (g  f) -1 Jadi diperoleh hubungan: (g o f) -1 (x) = (f -1 o g -1)(x) Contoh 34: Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3 dan g(x) = . Tentukan (f o g) - 1(x)! Cara 1: (f o g)(x) = 2( ) – 3 = Misalkan y = (f o g)(x) y = y(3x+1) = -9x – 1 3xy + y = -9x – 1 3xy + 9x = -y – 1 x (3y + 9) = -(y + 1) x = (f o g) - 1(x) = Cara 2: (f o g)(x) = 2( ) – 3 = (f o g) - 1(x) = Contoh 35: Diketahui f - 1(x) = x - 2, g - 1(x) = dan h(x)=(g o f)(x). tentukan h - 1(x)! Cara 1: f - 1(x) = x – 2 (f–1 o f)(x) =I(x)  f- 1(f(x)) = x f(x) – 2 = x f(x) = x + 2 f(x) = 2x + 4 g - 1(x) = (g– 1 o g)(x) =I(x)  g - 1(g(x)) = x = x 4g(x) + 5 = x.g(x)- 2x 4g(x) – x.g(x) = -2x – 5 g(x)(4 - x) = -2x – 5 g(x) = h(x) = (g o f)(x) h(x) = - h - 1(x) = Cara 2: h(x) = (g o f)(x)  h - 1(x) = (g o f) - 1 (x) = (f -1 o g -1)(x) = f -1( g -1(x)) h - 1(x) = . - 2 = Contoh 36: Ditentukan f(x) = 2x – 1, dan g(x) = 3 – x dan h(x) = , carilah nilai x sehingga (h o g o f) – 1 (x) = 1! Cara 1: (go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x (h o (g o f))(x) = Misalkan (h o g o f) (x) = y, maka: y = 4y – 2xy = 4 -2xy = 4 – 4y x = (h o g o f) – 1 (x) = = 1 2x – 2 = x x = 2 Cara 2: (go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x (h o (g o f))(x) = (h o g o f) – 1 (x) = a  x = (h o g o f) (a) (h o g o f) – 1 (x) = 1  x = (h o g o f) (1) =


AKomposisi Fungsi
1. Pengertian
Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru.
Misalkan: f : A  ®  B dan g : B ®  C



                           f                             g


            A                            B                            C

                                h = g o f

Fungsi baru h = (g o f) : A ® C disebut fungsi komposisi dari f dan g.
Ditulis: h(x) = (gof)(x) = g(f(x))

(gof)(x) = g(f(x)) ada hanya jika Rf Dg Ø

Nilai fungsi komposisi (gof)(x) untuk x = a adalah (gof)(a) = g(f(a))

Secara umum ada 2 definisi fungsi komposisi yaitu
1.    (f o g)(x) = f(g(x))
2.      (g o f)(x) = g(f(x))


Contoh 1:
Jika diketahui f : R ® R ; f(x) = 2x² +1,   g : R ® R ; g(x) = x + 3 , Tentukan (f o g)(x) dan (g o f)(x) !
Jawab
(f o g)(x) = f(g(x))
            = f(x+3)
            = 2(x+3)²+1
                = 2(x² + 6x + 9) + 1
                = 2x²+12x+19

(g o f)(x) = g(f(x))  
                 = g(2x²+1)
                 = 2x² + 1 + 3
                 = 2x² + 4


Contoh 2:
Diketahui A = {x l x < -1}, B dan C adalah himpunan bilangan real.
f : A B dengan f(x) = -x + 1;  g : B C dengan g(x) = x2 dan h = g o f : A → C.
Bila x di A dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x!
h(x) =  (g o f)(x)
         = g(f(x))
         = g(-x + 1)
         = (-x + 1)2
h(x) = 64 (-x + 1)2 = 64
                     -x + 1 = ± 8
                         -x + 1 = 8
                            x = -7
               atau –x + 1 = -8
                            x = 9
Karena A = {x l x < -1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = -7.

2. Sifat-sifat Komposisi Fungsi
Jika f : A ® B ; g : B ® C ; h : C ® D, maka berlaku:
i.   (fog)(x) ≠ (g o f)(x)                      (tidak komutatif)
ii. 
((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x)    (sifat asosiatif)
iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)          (elemen identitas)

Contoh 3:
Diketahui f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x2 + 2, I(x) = x
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x
(g o h)(x) = g(h(x)) = g(x2 + 2) = 3 – (x2 + 2) = 1 - x2
Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o f)(x)        

((fog)oh)(x) = (fog)(h(x))= (fog)( x2 + 2)= 7 – 2(x2 + 2) = 3 - 2x2
(fo(goh))(x)=f((goh)(x))= f(1 - x2)= 2(1 - x2) + 1 = 2 – 2 x2 + 1 = 3 – 2 x2
Dari hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x)   

(foI)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x + 1
(Iof)(x) = I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1
Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)



Fungsi Invers
v  Definisi
Jika fungsi f : A ® B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)laÎA dan bÎB}, maka invers dari fungsi f adalah f-1: B ® A ditentukan oleh:                       f-1:{(b,a)lbÎB dan aÎA}.

Jika f : A ® B, maka f  mempunyai fungsi invers f-1 : B ® A  jika dan hanya jika    f adalah fungsi bijektif atau korespondensi 1-1.

Jika f : y = f(x) ® f -1 : x = f(y)     

 
  (f o f -1)(x) = (f-1 o f)(x) = I(x)    (fungsi identitas)


v  Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers
      i.   f(x) = ax + b; a ≠ 0   ®  f -1(x) =; a ≠ 0
      ii.  f(x) = ; x ≠ - ®  f -1(x) = ; x ≠
      iii. f(x) = acx ; a > 0  ®  f -1(x) = alog x1/c = alog x ; c ≠ 0
      iv. f(x) = a log cx ; a > 0; cx > 0  ®   f -1(x) = ; c ≠ 0
      v. f(x) = ax²+bx+c; a≠0 ®  f -1(x)=

Catatan:
Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi.

Contoh 26:
Diketahui f: R ®  R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f -1 (x)!
Cara 1:
y = 2x - 5 (yang berarti x = f -1(y))
2x = y + 5
x =
f -1(x) =
Cara 2:
f(x) = ax + b  ®  f -1(x) =
f(x) = 2x – 5  ®  f -1(x) =

Contoh 27:
Diketahui  Tentukan !
Cara 1:
y(x - 4) = 2x + 1
yx – 4y = 2x + 1
yx – 2x = 4y + 1
x(y – 2) = 4y + 1
x = 
f -1(x) =
Cara 2:
f(x) =  ®  f -1(x) =
 ®  f -1(x) =

Contoh 28:
Jika   dan . Tentukan nilai k!
Cara 1:
y(3x - 4) = 2x
3xy – 4y = 2x
3xy – 2x = 4y
x(3y – 2) = 4y
x = 
f -1(x) =
f -1(k) =
1 =
3k – 2 = 4k
k = -2
Cara 2:
   f -1(k) = a  ®  k = f(a)

 ®  k = f(1) =

Contoh 29:
Diketahui f(x) = 52x, tentukan  f – 1 (x)!
Cara 1:
y = 52x (ingat rumus logaritma: a n = b ® n = )
2x =
x =
f – 1 (x) =
Cara 2:
f(x) = acx  ®  f -1(x) = alog x
f(x) = 52x  ® f – 1 (x) =
Contoh 30:
Diketahui f(x) = x2 – 6x + 4, tentukan f–1 (x)!
Cara 1:
y = x2 – 6x + 4
y – 4 = x2 – 6x
y – 4 = (x – 3) 2 – 9
y + 5 = (x – 3) 2
x – 3 = ±
x = 3 ±
f – 1 (x) = 3 ±

Cara 2:
f(x) = ax²+bx+c ®  f -1(x) =
f(x) = x2 – 6x + 4 ®  f -1(x) =

Contoh 31:
Diketahui , tentukan  f – 1 (x)!
Cara 1:
 
y – 2 =
(y – 2)5 = 1 – x3
x3 = 1 - (y – 2)5
x =
f – 1 (x) =
Cara 2:
      ®  f – 1 (x) =

 ®  f – 1 (x) =


v  Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui
Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi f(x).

Contoh 32:
Diketahui g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12, tentukan rumus fungsi f(x)!
Cara 1:
(g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12
g(f(x)) = 2x2 + 2x – 12
3 – 2f(x) = 2x2 + 2x – 12
-2f(x) = 2x2 + 2x – 15
f(x) = -x2 – x + 7,5

Cara 2:
g(x) = 3 – 2x  ®  g -1(x) =
  f(x) = [g -1 o (g o f)](x)

f(x) =

Contoh 33:
Diketahui f(x) = 2x -1 dan (g o f)(x) = , tentukan rumus fungsi g(x)!
Cara 1:
(g o f)(x) =
g(f(x)) =
g(2x-1) =
Misalkan: 2x – 1 = a  ®  x =
g(a) =
g(a) = =
g(x) =
Cara 2:
(g o f)(x) =
g(f(x)) =
g(2x-1) =
g(2x-1) =
g(x) =
Cara 3:
f(x) = 2x -1  ®  f -1(x) =
  g(x) = [(g o f) o f -1](x) = (g o f)( f -1(x))

g(x) =


6.5. Invers Dari Fungsi Komposisi
Misalkan fungsi f dan fungsi g nasing-masing merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi invers f -1 dan g-1. Fungsi komposisi (g o f) , pemetaan pertama ditentukan oleh f dan pemetaan kedua ditentukan oleh g. Mula-mula x oleh fungsi f dipetakan ke y, kemudian y oleh fungsi g dipetakan ke z, seperti tampak pada diagram berikut.


                                                        
                              f                          g


               A                            B                       C

                                    g o f

Fungsi (g o f) -1 memetakan z  ke x. Mula-mula z dipetakan ke y oleh fungsi g-1, kemudian y dipetakan x oleh fungsi f -1. Sehingga (g o f)-1 dapat dinyatakan sebagai komposisi dari (f-1 0 g-1). Seperti tampak pada diagram berikut.



                         f-1                                        g-1


            A                            B                            C

                                   (g o f) -1
Jadi diperoleh hubungan:
         (g o f) -1 (x) = (f -1 o g -1)(x)


Contoh 34:
Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3 dan g(x) = . Tentukan (f o g) - 1(x)!
Cara 1:
(f o g)(x) = 2() – 3 =
Misalkan y = (f o g)(x)
y =
y(3x+1) = -9x – 1
3xy + y = -9x – 1
3xy + 9x = -y – 1
x (3y + 9) = -(y + 1)
x =
(f o g) - 1(x) =
Cara 2:
(f o g)(x) = 2() – 3 =
 (f o g) - 1(x) =

Contoh 35:
Diketahui f - 1(x) = x - 2,  g - 1(x) = dan h(x)=(g o f)(x). tentukan h - 1(x)!
Cara 1:
f - 1(x) = x – 2  
(f–1 o f)(x) =I(x)  ® f- 1(f(x)) = x
f(x) – 2 = x
f(x) = x + 2
f(x) = 2x + 4

g - 1(x) =
(g– 1 o g)(x) =I(x)  ® g - 1(g(x)) = x
= x
4g(x) + 5 = x.g(x)- 2x
4g(x) – x.g(x) = -2x – 5
g(x)(4 - x) = -2x – 5
g(x) =
h(x) = (g o f)(x)
h(x) = -
h - 1(x) =
Cara 2:
     h(x) = (g o f)(x)  ®   h - 1(x) = (g o f) - 1 (x) =  (f -1 o g -1)(x) = f -1( g -1(x))

h - 1(x) = . - 2 =

Contoh 36:
Ditentukan f(x) = 2x – 1, dan g(x) = 3 – x dan h(x) = , carilah nilai x sehingga (h o g o f) – 1 (x) = 1!
Cara 1:
(go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x
(h o (g o f))(x) =
Misalkan (h o g o f) (x) = y, maka:
y =
4y – 2xy = 4
-2xy = 4 – 4y
x =
(h o g o f) – 1 (x) =
= 1
2x – 2 = x
x = 2
Cara 2:
(go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x
(h o (g o f))(x) =
   (h o g o f) – 1 (x) = a   ®   x = (h o g o f) (a)

(h o g o f) – 1 (x) = 1   ®   x = (h o g o f) (1) =


1. Pengertian
Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru.
Misalkan: f : A  ®  B dan g : B ®  C



                           f                             g


            A                            B                            C

                                h = g o f

Fungsi baru h = (g o f) : A ® C disebut fungsi komposisi dari f dan g.
Ditulis: h(x) = (gof)(x) = g(f(x))

(gof)(x) = g(f(x)) ada hanya jika Rf Dg Ø

Nilai fungsi komposisi (gof)(x) untuk x = a adalah (gof)(a) = g(f(a))

Secara umum ada 2 definisi fungsi komposisi yaitu
1.    (f o g)(x) = f(g(x))
2.      (g o f)(x) = g(f(x))


Contoh 1:
Jika diketahui f : R ® R ; f(x) = 2x² +1,   g : R ® R ; g(x) = x + 3 , Tentukan (f o g)(x) dan (g o f)(x) !
Jawab
(f o g)(x) = f(g(x))
            = f(x+3)
            = 2(x+3)²+1
                = 2(x² + 6x + 9) + 1
                = 2x²+12x+19

(g o f)(x) = g(f(x))  
                 = g(2x²+1)
                 = 2x² + 1 + 3
                 = 2x² + 4


Contoh 2:
Diketahui A = {x l x < -1}, B dan C adalah himpunan bilangan real.
f : A B dengan f(x) = -x + 1;  g : B C dengan g(x) = x2 dan h = g o f : A → C.
Bila x di A dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x!
h(x) =  (g o f)(x)
         = g(f(x))
         = g(-x + 1)
         = (-x + 1)2
h(x) = 64 (-x + 1)2 = 64
                     -x + 1 = ± 8
                         -x + 1 = 8
                            x = -7
               atau –x + 1 = -8
                            x = 9
Karena A = {x l x < -1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = -7.

2. Sifat-sifat Komposisi Fungsi
Jika f : A ® B ; g : B ® C ; h : C ® D, maka berlaku:
i.   (fog)(x) ≠ (g o f)(x)                      (tidak komutatif)
ii. 
((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x)    (sifat asosiatif)
iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)          (elemen identitas)

Contoh 3:
Diketahui f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x2 + 2, I(x) = x
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x
(g o h)(x) = g(h(x)) = g(x2 + 2) = 3 – (x2 + 2) = 1 - x2
Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o f)(x)        

((fog)oh)(x) = (fog)(h(x))= (fog)( x2 + 2)= 7 – 2(x2 + 2) = 3 - 2x2
(fo(goh))(x)=f((goh)(x))= f(1 - x2)= 2(1 - x2) + 1 = 2 – 2 x2 + 1 = 3 – 2 x2
Dari hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x)   

(foI)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x + 1
(Iof)(x) = I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1
Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)



Fungsi Invers
v  Definisi
Jika fungsi f : A ® B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)laÎA dan bÎB}, maka invers dari fungsi f adalah f-1: B ® A ditentukan oleh:                       f-1:{(b,a)lbÎB dan aÎA}.

Jika f : A ® B, maka f  mempunyai fungsi invers f-1 : B ® A  jika dan hanya jika    f adalah fungsi bijektif atau korespondensi 1-1.

Jika f : y = f(x) ® f -1 : x = f(y)     

 
  (f o f -1)(x) = (f-1 o f)(x) = I(x)    (fungsi identitas)


v  Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers
      i.   f(x) = ax + b; a ≠ 0   ®  f -1(x) =; a ≠ 0
      ii.  f(x) = ; x ≠ - ®  f -1(x) = ; x ≠
      iii. f(x) = acx ; a > 0  ®  f -1(x) = alog x1/c = alog x ; c ≠ 0
      iv. f(x) = a log cx ; a > 0; cx > 0  ®   f -1(x) = ; c ≠ 0
      v. f(x) = ax²+bx+c; a≠0 ®  f -1(x)=

Catatan:
Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi.

Contoh 26:
Diketahui f: R ®  R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f -1 (x)!
Cara 1:
y = 2x - 5 (yang berarti x = f -1(y))
2x = y + 5
x =
f -1(x) =
Cara 2:
f(x) = ax + b  ®  f -1(x) =
f(x) = 2x – 5  ®  f -1(x) =

Contoh 27:
Diketahui  Tentukan !
Cara 1:
y(x - 4) = 2x + 1
yx – 4y = 2x + 1
yx – 2x = 4y + 1
x(y – 2) = 4y + 1
x = 
f -1(x) =
Cara 2:
f(x) =  ®  f -1(x) =
 ®  f -1(x) =

Contoh 28:
Jika   dan . Tentukan nilai k!
Cara 1:
y(3x - 4) = 2x
3xy – 4y = 2x
3xy – 2x = 4y
x(3y – 2) = 4y
x = 
f -1(x) =
f -1(k) =
1 =
3k – 2 = 4k
k = -2
Cara 2:
   f -1(k) = a  ®  k = f(a)

 ®  k = f(1) =

Contoh 29:
Diketahui f(x) = 52x, tentukan  f – 1 (x)!
Cara 1:
y = 52x (ingat rumus logaritma: a n = b ® n = )
2x =
x =
f – 1 (x) =
Cara 2:
f(x) = acx  ®  f -1(x) = alog x
f(x) = 52x  ® f – 1 (x) =
Contoh 30:
Diketahui f(x) = x2 – 6x + 4, tentukan f–1 (x)!
Cara 1:
y = x2 – 6x + 4
y – 4 = x2 – 6x
y – 4 = (x – 3) 2 – 9
y + 5 = (x – 3) 2
x – 3 = ±
x = 3 ±
f – 1 (x) = 3 ±

Cara 2:
f(x) = ax²+bx+c ®  f -1(x) =
f(x) = x2 – 6x + 4 ®  f -1(x) =

Contoh 31:
Diketahui , tentukan  f – 1 (x)!
Cara 1:
 
y – 2 =
(y – 2)5 = 1 – x3
x3 = 1 - (y – 2)5
x =
f – 1 (x) =
Cara 2:
      ®  f – 1 (x) =

 ®  f – 1 (x) =


v  Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui
Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi f(x).

Contoh 32:
Diketahui g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12, tentukan rumus fungsi f(x)!
Cara 1:
(g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12
g(f(x)) = 2x2 + 2x – 12
3 – 2f(x) = 2x2 + 2x – 12
-2f(x) = 2x2 + 2x – 15
f(x) = -x2 – x + 7,5

Cara 2:
g(x) = 3 – 2x  ®  g -1(x) =
  f(x) = [g -1 o (g o f)](x)

f(x) =

Contoh 33:
Diketahui f(x) = 2x -1 dan (g o f)(x) = , tentukan rumus fungsi g(x)!
Cara 1:
(g o f)(x) =
g(f(x)) =
g(2x-1) =
Misalkan: 2x – 1 = a  ®  x =
g(a) =
g(a) = =
g(x) =
Cara 2:
(g o f)(x) =
g(f(x)) =
g(2x-1) =
g(2x-1) =
g(x) =
Cara 3:
f(x) = 2x -1  ®  f -1(x) =
  g(x) = [(g o f) o f -1](x) = (g o f)( f -1(x))

g(x) =


6.5. Invers Dari Fungsi Komposisi
Misalkan fungsi f dan fungsi g nasing-masing merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi invers f -1 dan g-1. Fungsi komposisi (g o f) , pemetaan pertama ditentukan oleh f dan pemetaan kedua ditentukan oleh g. Mula-mula x oleh fungsi f dipetakan ke y, kemudian y oleh fungsi g dipetakan ke z, seperti tampak pada diagram berikut.


                                                        
                              f                          g


               A                            B                       C

                                    g o f

Fungsi (g o f) -1 memetakan z  ke x. Mula-mula z dipetakan ke y oleh fungsi g-1, kemudian y dipetakan x oleh fungsi f -1. Sehingga (g o f)-1 dapat dinyatakan sebagai komposisi dari (f-1 0 g-1). Seperti tampak pada diagram berikut.



                         f-1                                        g-1


            A                            B                            C

                                   (g o f) -1
Jadi diperoleh hubungan:
         (g o f) -1 (x) = (f -1 o g -1)(x)


Contoh 34:
Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3 dan g(x) = . Tentukan (f o g) - 1(x)!
Cara 1:
(f o g)(x) = 2() – 3 =
Misalkan y = (f o g)(x)
y =
y(3x+1) = -9x – 1
3xy + y = -9x – 1
3xy + 9x = -y – 1
x (3y + 9) = -(y + 1)
x =
(f o g) - 1(x) =
Cara 2:
(f o g)(x) = 2() – 3 =
 (f o g) - 1(x) =

Contoh 35:
Diketahui f - 1(x) = x - 2,  g - 1(x) = dan h(x)=(g o f)(x). tentukan h - 1(x)!
Cara 1:
f - 1(x) = x – 2  
(f–1 o f)(x) =I(x)  ® f- 1(f(x)) = x
f(x) – 2 = x
f(x) = x + 2
f(x) = 2x + 4

g - 1(x) =
(g– 1 o g)(x) =I(x)  ® g - 1(g(x)) = x
= x
4g(x) + 5 = x.g(x)- 2x
4g(x) – x.g(x) = -2x – 5
g(x)(4 - x) = -2x – 5
g(x) =
h(x) = (g o f)(x)
h(x) = -
h - 1(x) =
Cara 2:
     h(x) = (g o f)(x)  ®   h - 1(x) = (g o f) - 1 (x) =  (f -1 o g -1)(x) = f -1( g -1(x))

h - 1(x) = . - 2 =

Contoh 36:
Ditentukan f(x) = 2x – 1, dan g(x) = 3 – x dan h(x) = , carilah nilai x sehingga (h o g o f) – 1 (x) = 1!
Cara 1:
(go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x
(h o (g o f))(x) =
Misalkan (h o g o f) (x) = y, maka:
y =
4y – 2xy = 4
-2xy = 4 – 4y
x =
(h o g o f) – 1 (x) =
= 1
2x – 2 = x
x = 2
Cara 2:
(go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x
(h o (g o f))(x) =
   (h o g o f) – 1 (x) = a   ®   x = (h o g o f) (a)

(h o g o f) – 1 (x) = 1   ®   x = (h o g o f) (1) =

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar