AKomposisi Fungsi
1. Pengertian
Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru.
Misalkan: f : A ® B dan g : B ® C
f g
A B C
h = g o f
Fungsi baru h = (g o f) : A ® C disebut fungsi komposisi dari f dan g.
Ditulis: h(x) = (gof)(x) = g(f(x))
(gof)(x) = g(f(x)) ada hanya jika Rf ∩ Dg ≠ Ø
Nilai fungsi komposisi (gof)(x) untuk x = a adalah (gof)(a) = g(f(a))
Secara umum ada 2 definisi fungsi komposisi yaitu
1. (f o g)(x) = f(g(x))
2. (g o f)(x) = g(f(x))
Contoh 1:
Jika diketahui f : R ® R ; f(x) = 2x² +1, g : R ® R ; g(x) = x + 3 , Tentukan (f o g)(x) dan (g o f)(x) !
Jawab
Jawab
(f o g)(x) = f(g(x))
= f(x+3)
= 2(x+3)²+1
= 2(x² + 6x + 9) + 1
= 2x²+12x+19
(g o f)(x) = g(f(x))
= g(2x²+1)
= 2x² + 1 + 3
= 2x² + 4
Contoh 2:
Diketahui A = {x l x < -1}, B dan C adalah himpunan bilangan real.
f : A → B dengan f(x) = -x + 1; g : B → C dengan g(x) = x2 dan h = g o f : A → C.
Bila x di A dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x!
h(x) = (g o f)(x)
= g(f(x))
= g(-x + 1)
= (-x + 1)2
h(x) = 64 → (-x + 1)2 = 64
↔ -x + 1 = ± 8
-x + 1 = 8
↔ x = -7
atau –x + 1 = -8
↔ x = 9
Karena A = {x l x < -1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = -7.
2. Sifat-sifat Komposisi Fungsi
Jika f : A ® B ; g : B ® C ; h : C ® D, maka berlaku:
i. (fog)(x) ≠ (g o f)(x) (tidak komutatif)
ii. ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) (sifat asosiatif)
ii. ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) (sifat asosiatif)
iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) (elemen identitas)
Contoh 3:
Diketahui f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x2 + 2, I(x) = x
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x
(g o h)(x) = g(h(x)) = g(x2 + 2) = 3 – (x2 + 2) = 1 - x2
Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o f)(x)
((fog)oh)(x) = (fog)(h(x))= (fog)( x2 + 2)= 7 – 2(x2 + 2) = 3 - 2x2
(fo(goh))(x)=f((goh)(x))= f(1 - x2)= 2(1 - x2) + 1 = 2 – 2 x2 + 1 = 3 – 2 x2
Dari hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x)
(foI)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x + 1
(Iof)(x) = I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1
Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)
Fungsi Invers
v Definisi
Jika fungsi f : A ® B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)laÎA dan bÎB}, maka invers dari fungsi f adalah f-1: B ® A ditentukan oleh: f-1:{(b,a)lbÎB dan aÎA}.
Jika f : A ® B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 : B ® A jika dan hanya jika f adalah fungsi bijektif atau korespondensi 1-1.
Jika f : y = f(x) ® f -1 : x = f(y)
(f o f -1)(x) = (f-1 o f)(x) = I(x) (fungsi identitas)
v Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers
i. f(x) = ax + b; a ≠ 0 ® f -1(x) =; a ≠ 0
ii. f(x) = ; x ≠ - ® f -1(x) = ; x ≠
iii. f(x) = acx ; a > 0 ® f -1(x) = alog x1/c = alog x ; c ≠ 0
iv. f(x) = a log cx ; a > 0; cx > 0 ® f -1(x) = ; c ≠ 0
v. f(x) = ax²+bx+c; a≠0 ® f -1(x)=
Catatan:
Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi.
Contoh 26:
Diketahui f: R ® R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f -1 (x)!
Cara 1:
Cara 1:
y = 2x - 5 (yang berarti x = f -1(y))
2x = y + 5
2x = y + 5
x =
f -1(x) =
f -1(x) =
Cara 2:
f(x) = ax + b ® f -1(x) =
f(x) = 2x – 5 ® f -1(x) =
Contoh 27:
Diketahui Tentukan !
Cara 1:
y(x - 4) = 2x + 1
yx – 4y = 2x + 1
yx – 2x = 4y + 1
x(y – 2) = 4y + 1
x =
f -1(x) =
Cara 2:
f(x) = ® f -1(x) =
® f -1(x) =
Contoh 28:
Jika dan . Tentukan nilai k!
Cara 1:
y(3x - 4) = 2x
3xy – 4y = 2x
3xy – 2x = 4y
x(3y – 2) = 4y
x =
f -1(x) =
f -1(k) =
1 =
3k – 2 = 4k
k = -2
Cara 2:
f -1(k) = a ® k = f(a)
® k = f(1) =
Contoh 29:
Diketahui f(x) = 52x, tentukan f – 1 (x)!
Cara 1:
y = 52x (ingat rumus logaritma: a n = b ® n = )
2x =
x =
f – 1 (x) =
Cara 2:
f(x) = acx ® f -1(x) = alog x
f(x) = 52x ® f – 1 (x) =
Contoh 30:
Diketahui f(x) = x2 – 6x + 4, tentukan f–1 (x)!
Cara 1:
y = x2 – 6x + 4
y – 4 = x2 – 6x
y – 4 = (x – 3) 2 – 9
y + 5 = (x – 3) 2
x – 3 = ±
x = 3 ±
f – 1 (x) = 3 ±
Cara 2:
f(x) = ax²+bx+c ® f -1(x) =
f(x) = x2 – 6x + 4 ® f -1(x) =
Contoh 31:
Diketahui , tentukan f – 1 (x)!
Cara 1:
y – 2 =
(y – 2)5 = 1 – x3
x3 = 1 - (y – 2)5
x =
f – 1 (x) =
Cara 2:
® f – 1 (x) =
® f – 1 (x) =
v Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui
Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi f(x).
Contoh 32:
Diketahui g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12, tentukan rumus fungsi f(x)!
Cara 1:
(g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12
g(f(x)) = 2x2 + 2x – 12
3 – 2f(x) = 2x2 + 2x – 12
-2f(x) = 2x2 + 2x – 15
f(x) = -x2 – x + 7,5
Cara 2:
g(x) = 3 – 2x ® g -1(x) =
f(x) = [g -1 o (g o f)](x)
f(x) =
Contoh 33:
Diketahui f(x) = 2x -1 dan (g o f)(x) = , tentukan rumus fungsi g(x)!
Cara 1:
(g o f)(x) =
g(f(x)) =
g(2x-1) =
Misalkan: 2x – 1 = a ® x =
g(a) =
g(a) = =
g(x) =
Cara 2:
(g o f)(x) =
g(f(x)) =
g(2x-1) =
g(2x-1) =
g(x) =
Cara 3:
f(x) = 2x -1 ® f -1(x) =
g(x) = [(g o f) o f -1](x) = (g o f)( f -1(x))
g(x) =
6.5. Invers Dari Fungsi Komposisi
Misalkan fungsi f dan fungsi g nasing-masing merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi invers f -1 dan g-1. Fungsi komposisi (g o f) , pemetaan pertama ditentukan oleh f dan pemetaan kedua ditentukan oleh g. Mula-mula x oleh fungsi f dipetakan ke y, kemudian y oleh fungsi g dipetakan ke z, seperti tampak pada diagram berikut.
f g
A B C
g o f
Fungsi (g o f) -1 memetakan z ke x. Mula-mula z dipetakan ke y oleh fungsi g-1, kemudian y dipetakan x oleh fungsi f -1. Sehingga (g o f)-1 dapat dinyatakan sebagai komposisi dari (f-1 0 g-1). Seperti tampak pada diagram berikut.
f-1 g-1
A B C
(g o f) -1
Jadi diperoleh hubungan:
(g o f) -1 (x) = (f -1 o g -1)(x)
Contoh 34:
Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3 dan g(x) = . Tentukan (f o g) - 1(x)!
Cara 1:
(f o g)(x) = 2() – 3 =
Misalkan y = (f o g)(x)
y =
y(3x+1) = -9x – 1
3xy + y = -9x – 1
3xy + 9x = -y – 1
x (3y + 9) = -(y + 1)
x =
(f o g) - 1(x) =
Cara 2:
(f o g)(x) = 2() – 3 =
(f o g) - 1(x) =
Contoh 35:
Diketahui f - 1(x) = x - 2, g - 1(x) = dan h(x)=(g o f)(x). tentukan h - 1(x)!
Cara 1:
f - 1(x) = x – 2
(f–1 o f)(x) =I(x) ® f- 1(f(x)) = x
f(x) – 2 = x
f(x) = x + 2
f(x) = 2x + 4
g - 1(x) =
(g– 1 o g)(x) =I(x) ® g - 1(g(x)) = x
= x
4g(x) + 5 = x.g(x)- 2x
4g(x) – x.g(x) = -2x – 5
g(x)(4 - x) = -2x – 5
g(x) =
h(x) = (g o f)(x)
h(x) = -
h - 1(x) =
Cara 2:
h(x) = (g o f)(x) ® h - 1(x) = (g o f) - 1 (x) = (f -1 o g -1)(x) = f -1( g -1(x))
h - 1(x) = . - 2 =
Contoh 36:
Ditentukan f(x) = 2x – 1, dan g(x) = 3 – x dan h(x) = , carilah nilai x sehingga (h o g o f) – 1 (x) = 1!
Cara 1:
(go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x
(h o (g o f))(x) =
Misalkan (h o g o f) (x) = y, maka:
y =
4y – 2xy = 4
-2xy = 4 – 4y
x =
(h o g o f) – 1 (x) =
= 1
2x – 2 = x
x = 2
Cara 2:
(go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x
(h o (g o f))(x) =
(h o g o f) – 1 (x) = a ® x = (h o g o f) (a)
(h o g o f) – 1 (x) = 1 ® x = (h o g o f) (1) =
1. Pengertian
Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru.
Misalkan: f : A ® B dan g : B ® C
f g
A B C
h = g o f
Fungsi baru h = (g o f) : A ® C disebut fungsi komposisi dari f dan g.
Ditulis: h(x) = (gof)(x) = g(f(x))
(gof)(x) = g(f(x)) ada hanya jika Rf ∩ Dg ≠ Ø
Nilai fungsi komposisi (gof)(x) untuk x = a adalah (gof)(a) = g(f(a))
Secara umum ada 2 definisi fungsi komposisi yaitu
1. (f o g)(x) = f(g(x))
2. (g o f)(x) = g(f(x))
Contoh 1:
Jika diketahui f : R ® R ; f(x) = 2x² +1, g : R ® R ; g(x) = x + 3 , Tentukan (f o g)(x) dan (g o f)(x) !
Jawab
Jawab
(f o g)(x) = f(g(x))
= f(x+3)
= 2(x+3)²+1
= 2(x² + 6x + 9) + 1
= 2x²+12x+19
(g o f)(x) = g(f(x))
= g(2x²+1)
= 2x² + 1 + 3
= 2x² + 4
Contoh 2:
Diketahui A = {x l x < -1}, B dan C adalah himpunan bilangan real.
f : A → B dengan f(x) = -x + 1; g : B → C dengan g(x) = x2 dan h = g o f : A → C.
Bila x di A dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x!
h(x) = (g o f)(x)
= g(f(x))
= g(-x + 1)
= (-x + 1)2
h(x) = 64 → (-x + 1)2 = 64
↔ -x + 1 = ± 8
-x + 1 = 8
↔ x = -7
atau –x + 1 = -8
↔ x = 9
Karena A = {x l x < -1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = -7.
2. Sifat-sifat Komposisi Fungsi
Jika f : A ® B ; g : B ® C ; h : C ® D, maka berlaku:
i. (fog)(x) ≠ (g o f)(x) (tidak komutatif)
ii. ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) (sifat asosiatif)
ii. ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) (sifat asosiatif)
iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) (elemen identitas)
Contoh 3:
Diketahui f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x2 + 2, I(x) = x
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x
(g o h)(x) = g(h(x)) = g(x2 + 2) = 3 – (x2 + 2) = 1 - x2
Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o f)(x)
((fog)oh)(x) = (fog)(h(x))= (fog)( x2 + 2)= 7 – 2(x2 + 2) = 3 - 2x2
(fo(goh))(x)=f((goh)(x))= f(1 - x2)= 2(1 - x2) + 1 = 2 – 2 x2 + 1 = 3 – 2 x2
Dari hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x)
(foI)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x + 1
(Iof)(x) = I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1
Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)
Fungsi Invers
v Definisi
Jika fungsi f : A ® B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)laÎA dan bÎB}, maka invers dari fungsi f adalah f-1: B ® A ditentukan oleh: f-1:{(b,a)lbÎB dan aÎA}.
Jika f : A ® B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 : B ® A jika dan hanya jika f adalah fungsi bijektif atau korespondensi 1-1.
Jika f : y = f(x) ® f -1 : x = f(y)
(f o f -1)(x) = (f-1 o f)(x) = I(x) (fungsi identitas)
v Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers
i. f(x) = ax + b; a ≠ 0 ® f -1(x) =; a ≠ 0
ii. f(x) = ; x ≠ - ® f -1(x) = ; x ≠
iii. f(x) = acx ; a > 0 ® f -1(x) = alog x1/c = alog x ; c ≠ 0
iv. f(x) = a log cx ; a > 0; cx > 0 ® f -1(x) = ; c ≠ 0
v. f(x) = ax²+bx+c; a≠0 ® f -1(x)=
Catatan:
Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi.
Contoh 26:
Diketahui f: R ® R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f -1 (x)!
Cara 1:
Cara 1:
y = 2x - 5 (yang berarti x = f -1(y))
2x = y + 5
2x = y + 5
x =
f -1(x) =
f -1(x) =
Cara 2:
f(x) = ax + b ® f -1(x) =
f(x) = 2x – 5 ® f -1(x) =
Contoh 27:
Diketahui Tentukan !
Cara 1:
y(x - 4) = 2x + 1
yx – 4y = 2x + 1
yx – 2x = 4y + 1
x(y – 2) = 4y + 1
x =
f -1(x) =
Cara 2:
f(x) = ® f -1(x) =
® f -1(x) =
Contoh 28:
Jika dan . Tentukan nilai k!
Cara 1:
y(3x - 4) = 2x
3xy – 4y = 2x
3xy – 2x = 4y
x(3y – 2) = 4y
x =
f -1(x) =
f -1(k) =
1 =
3k – 2 = 4k
k = -2
Cara 2:
f -1(k) = a ® k = f(a)
® k = f(1) =
Contoh 29:
Diketahui f(x) = 52x, tentukan f – 1 (x)!
Cara 1:
y = 52x (ingat rumus logaritma: a n = b ® n = )
2x =
x =
f – 1 (x) =
Cara 2:
f(x) = acx ® f -1(x) = alog x
f(x) = 52x ® f – 1 (x) =
Contoh 30:
Diketahui f(x) = x2 – 6x + 4, tentukan f–1 (x)!
Cara 1:
y = x2 – 6x + 4
y – 4 = x2 – 6x
y – 4 = (x – 3) 2 – 9
y + 5 = (x – 3) 2
x – 3 = ±
x = 3 ±
f – 1 (x) = 3 ±
Cara 2:
f(x) = ax²+bx+c ® f -1(x) =
f(x) = x2 – 6x + 4 ® f -1(x) =
Contoh 31:
Diketahui , tentukan f – 1 (x)!
Cara 1:
y – 2 =
(y – 2)5 = 1 – x3
x3 = 1 - (y – 2)5
x =
f – 1 (x) =
Cara 2:
® f – 1 (x) =
® f – 1 (x) =
v Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui
Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi f(x).
Contoh 32:
Diketahui g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12, tentukan rumus fungsi f(x)!
Cara 1:
(g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12
g(f(x)) = 2x2 + 2x – 12
3 – 2f(x) = 2x2 + 2x – 12
-2f(x) = 2x2 + 2x – 15
f(x) = -x2 – x + 7,5
Cara 2:
g(x) = 3 – 2x ® g -1(x) =
f(x) = [g -1 o (g o f)](x)
f(x) =
Contoh 33:
Diketahui f(x) = 2x -1 dan (g o f)(x) = , tentukan rumus fungsi g(x)!
Cara 1:
(g o f)(x) =
g(f(x)) =
g(2x-1) =
Misalkan: 2x – 1 = a ® x =
g(a) =
g(a) = =
g(x) =
Cara 2:
(g o f)(x) =
g(f(x)) =
g(2x-1) =
g(2x-1) =
g(x) =
Cara 3:
f(x) = 2x -1 ® f -1(x) =
g(x) = [(g o f) o f -1](x) = (g o f)( f -1(x))
g(x) =
6.5. Invers Dari Fungsi Komposisi
Misalkan fungsi f dan fungsi g nasing-masing merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi invers f -1 dan g-1. Fungsi komposisi (g o f) , pemetaan pertama ditentukan oleh f dan pemetaan kedua ditentukan oleh g. Mula-mula x oleh fungsi f dipetakan ke y, kemudian y oleh fungsi g dipetakan ke z, seperti tampak pada diagram berikut.
f g
A B C
g o f
Fungsi (g o f) -1 memetakan z ke x. Mula-mula z dipetakan ke y oleh fungsi g-1, kemudian y dipetakan x oleh fungsi f -1. Sehingga (g o f)-1 dapat dinyatakan sebagai komposisi dari (f-1 0 g-1). Seperti tampak pada diagram berikut.
f-1 g-1
A B C
(g o f) -1
Jadi diperoleh hubungan:
(g o f) -1 (x) = (f -1 o g -1)(x)
Contoh 34:
Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3 dan g(x) = . Tentukan (f o g) - 1(x)!
Cara 1:
(f o g)(x) = 2() – 3 =
Misalkan y = (f o g)(x)
y =
y(3x+1) = -9x – 1
3xy + y = -9x – 1
3xy + 9x = -y – 1
x (3y + 9) = -(y + 1)
x =
(f o g) - 1(x) =
Cara 2:
(f o g)(x) = 2() – 3 =
(f o g) - 1(x) =
Contoh 35:
Diketahui f - 1(x) = x - 2, g - 1(x) = dan h(x)=(g o f)(x). tentukan h - 1(x)!
Cara 1:
f - 1(x) = x – 2
(f–1 o f)(x) =I(x) ® f- 1(f(x)) = x
f(x) – 2 = x
f(x) = x + 2
f(x) = 2x + 4
g - 1(x) =
(g– 1 o g)(x) =I(x) ® g - 1(g(x)) = x
= x
4g(x) + 5 = x.g(x)- 2x
4g(x) – x.g(x) = -2x – 5
g(x)(4 - x) = -2x – 5
g(x) =
h(x) = (g o f)(x)
h(x) = -
h - 1(x) =
Cara 2:
h(x) = (g o f)(x) ® h - 1(x) = (g o f) - 1 (x) = (f -1 o g -1)(x) = f -1( g -1(x))
h - 1(x) = . - 2 =
Contoh 36:
Ditentukan f(x) = 2x – 1, dan g(x) = 3 – x dan h(x) = , carilah nilai x sehingga (h o g o f) – 1 (x) = 1!
Cara 1:
(go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x
(h o (g o f))(x) =
Misalkan (h o g o f) (x) = y, maka:
y =
4y – 2xy = 4
-2xy = 4 – 4y
x =
(h o g o f) – 1 (x) =
= 1
2x – 2 = x
x = 2
Cara 2:
(go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x
(h o (g o f))(x) =
(h o g o f) – 1 (x) = a ® x = (h o g o f) (a)
(h o g o f) – 1 (x) = 1 ® x = (h o g o f) (1) =